連続講演「双曲幾何に関連する幾何学的群論 」
２０２１年 OCAMI共同利用・共同研究種目(B)「双曲幾何に関連する幾何学的群論 」
の一環として、３月１６日、１７日、１８日の３日間の日程で、
作間誠先生（広島大学名誉教授・数学研究所特別研究員）と
宮地秀樹先生（金沢大学教授）によるzoomを用いたオンラインでの連続講演（それぞれ計３回）を、
下記のスケジュールで行います。
- 日時：３月１６日（水）１３時〜１８日（金）１６時３０分
- 場所：zoom
- 講演者：作間誠（広島大学名誉教授・数学研究所特別研究員）、
宮地秀樹（金沢大学教授）
- スケジュール
- 連続講演「双曲幾何に関連する幾何学的群論 」
- ３月１６日（水）
- 13:00--14:30：
宮地秀樹
「タイヒミュラー空間上の極値的長さの幾何学について」（１回目）
- 15:00--16:30：
作間誠
「放物型変換２元生成クライン群の分類」（１回目）
- ３月１７日（木）
- 10:30--12:00：
宮地秀樹
「タイヒミュラー空間上の極値的長さの幾何学について」（２回目）
- 13:00--14:30：
作間誠
「放物型変換２元生成クライン群の分類」（２回目）
- ３月１８日（金）
- 13:00--14:30：
宮地秀樹
「タイヒミュラー空間上の極値的長さの幾何学について」（３回目）
- 15:00--16:30：
作間誠
「放物型変換２元生成クライン群の分類」（３回目）
- 宮地先生の講演要旨
- 「タイヒミュラー空間上の極値的長さの幾何学について」
- タイヒミュラー空間は，標識付きリーマン面の擬等角写像に関する変形を扱う空間である．
ここでは閉曲面のタイヒミュラー空間について議論する．定義から，タイヒミュラー空間上の関数は標識付きリーマン面の等角不変量である．
2つの標識付きリーマン面の違いを図るためのタイヒミュラー空間上の完備距離として，タイヒミュラー距離が知られている．
タイヒミュラー距離について，標識付きリーマン面の等角不変量の一つである極値的長さにより表示ができるというKerckhoffの公式が知られている．
この公式から，タイヒミュラー空間上のタイヒミュラー距離に関する幾何学のことを極値的長さの幾何学と呼ばれる．
本講演の目的は，2次元双曲平面の双曲幾何学と対比して，タイヒミュラー空間上の極値的長さの幾何学について説明することである．
- 各回の内容として，次の通りの行うことを考えている：
- 1回目：基本事項，モデルとなる双曲平面の幾何学
- 2回目：極値的長さの幾何学とコンパクト化およびそれらの性質
- 3回目：交点数関数による一意化．今後の問題
- 参考文献：
- S. Kerckhoff, The asymptotic geometry of Teichmuller space, Topology 19 (1980), 23-41
- F. Gardiner, H.Masur, Extremal length geometry of Teichmuller space, Complex Variables Theory Appl. 16 (1991), 209―237
- H.Miyachi, Teichmuller rays and the Gardiner-Masur boundary of Teichmuller space, Geometriae Dedicata 137(2008), 113―141
- H.Miyachi, Teichmuller rays and the Gardiner-Masur boundary of Teichmuller space II, Geometriae Dedicata 162(2013), 283―304
- H.Miyachi, Unification of extremal length geometry on Teichmuller space via intersection number, Math.Z. 278 (2014), 1065―1095
- L.Liu and W.Su, The horofunction compactification of the Teichm}ller metric, Handbook of Teichmuller theory. Vol. IV (2014), 355-374
- 作間先生の講演要旨
- 「放物型変換２元生成クライン群の分類」
- 結び目理論に動機付けられて Riley は２つの放物型変換で生成されるクライン群の研究を行ない，
その８の字結び目補空間の完備双曲構造の構成は
ハーケン多様体の一意化定理を目指しいていた Thurston に霊感を与えた．
それ以来，２つの放物型変換で生成されるクライン群に関する様々な研究が行われ，
放物型変換２元生成「自由」クライン群が作る空間（の内部）である
Riley slice (of Schottly space) に関しては，
Keen-Series, Komori-Series, Ohshika-Miyachi 等により深い研究成果が得られている．
本講演のテーマは Riley slice （の閉包）の外部にあるクライン群，
即ち，自由群でない放物型変換２元生成クライン群である．
2001 年の Bolyai Conference において Agol は
そのようなクライン群及びその放物的生成対の分類定理をアナウンスした．
この定理は，Adams による定理
「捩れ元を持たない放物型変換２元生成非自由クライン群は双曲的２橋絡み目群に限る」
の一般化になっており，また同時に，
Riley, Algebra for Heckoid groups, Trans AMS (1992)
で述べられている予測の実現となっている．
この講演では，まず最初に２次元双曲幾何における
Knapp による放物型変換２元生成フックス群の分類を説明し，
出発点となった Riley の研究を紹介した後，
下記の論文に従って，Agol の分類定理の証明の概要を述べる．
- H. Akiyoshi, K. Ohshika, J. Parker, M. Sakuma, and H. Yoshida,
Non-free Kleiniain groups generated by two parabolic transformations，
Trans. A.M.S. 374 (2021), 1765--1814.
- S. Aimi, D. Lee, S. Sakai, and M. Sakuma,
Classification of parabolic generating pairs of Kleinian groups
with two parabolic generators,
Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste 52 (2020), 477--511.
- 各回の内容としては，次を予定している．
- １回目：Knapp, Riley, Adams の研究の紹介，Agol の分類定理の内容の説明
- ２回目：放物型変換２元生成非自由クライン群の分類定理の証明の概要
- ３回目：放物的生成対の分類定理の証明の概要，及び応用と今後の課題
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